趣味问题-掷骰子

发表于 2023-07-17 分类于海边捡贝壳阅读次数：本文字数： 2.3k 阅读时长 ≈ 4 分钟

考虑一个标准的 6 面骰子，反复重复的扔这个骰子，记第 i 次掷出来的数字是，则，对 j=1,2,…,6。

如下定义，给定任何一个正整数 m，定义为 m 出现在序列中的概率。证明序列收敛，并求

分析

出现在序列中这个事件包含以下以下几个事件：

因此，不难得到

认为

问题转化为证明收敛并求极限

如果数列 f 收敛，设极限为 L，

因此因此，

下面证明数列 f 的收敛性

设，

则显然递减，递增，并且有界，所以都收敛，

又因为

由夹逼定理，如果能够证明，即可证明收敛。

设，

根据收敛性的定义当时，有，即

因此

对的每个 n ，都可以证明

$$ $$

所以对于，都有

用同样的方法可以证明对于，都有

因此

如果，只要取的足够小，上式可以和 (由收敛性的定义) 矛盾，

因此，也就是说，收敛。

直接用 Mathematica 的 RSolve 函数求解

得到极限为

也可以强行求解特征方程，写出数列通项的表达式，但是也需要借助计算机。

方法1 的配凑很有意思，但是对于收敛性的证明不够优美，但是这个证明可以很容易的拓展到不等于 6 的情况，还行吧