代数第2章---群

发表于 2022-01-17 更新于 2023-05-27 分类于数学阅读次数：本文字数： 6.2k 阅读时长 ≈ 11 分钟

群

基本定义，子群，正规子群，同构和同态，等价关系，商群，陪集

这篇总结写的很乱，不适合零基础看，更适合复习，总感觉同态、同构、陪集、商群这几个概念环环相扣，不知道应该先讲哪一个，又由于写这篇笔记的时候参考的书比较多，没能思路很清晰的写下来。

合成法则

合成法则：

集合S中的合成法则是将S中的元素a,b合成为另一个元素

想到一件有意思的事情，关于质因数分解，一般来说，两个元素的合成是一个信息减少的过程，但是两个质数通过乘法合成一个数字竟然没有信息的损失（不知道这么说对不对），总归可以用枚举来复原

但是对于加法来说就没有这种特例

交换律和结合律：

其实对于一个集合，我们可以任意定义合成运算，无论我们定义的运算有没有结合律或者交换律

后面将看到，集合S及其上面满足结合律的运算构成群，如果这个运算还满足交换律，那这个群就是一种特殊的群(Able群)

有了合成法则，我们就可以定义S上面关于某个运算的恒等元(幺元)： $为恒等元$ 性质：

幺元唯一
如果a有左逆l右逆r，则la=e , ar=e ，l=r=a^-1

$证明$

群和子群

群

半群：

结合律

封闭性

幺半群：

结合律

封闭性

幺元

群：

结合律

封闭性

幺元

逆元

Able群(交换群）：

结合律

封闭性

幺元

逆元

交换律

群中的元素个数叫做群的阶，记为|G|

判定定理

有消去律的有限半群是群

注意条件有限

对G中任意元素a,可以构造双射（双射的存在性就是由于消去律）：必然有 x0 使得 ax0 = a ，这里找到的x0就可以被证明为幺元
半群按照它的运算形成群 IFF. 满足可除性条件

可除性条件： $与都有解$ 可以证明幺元和逆元都存在

一些特殊群的记号：

$可逆矩阵$

$指标，的置换群也叫对称群$

S3的结构：

使用一个置换和一个对换的组合即可表示出S3的所有元素：

定义:群的阶是指群的元素个数（可以有无限个）

一个小问题，邓少强老师的书里面1.2关于群的定义有一个弱形式，即把幺元存在逆元存在换成左幺元存在和左逆元存在，如何证明等价性呢？

这个证明有点小麻烦）

设对于任意（e为左幺元）

对 $的右逆元存在$

又由题设条件，b的左逆元存在，记为l，有 ,即e为右幺元

左右幺元都存在即可证明幺元唯一

下面证明左右逆元存在且相等：

则由于幺元唯一，

(这么说似乎不严谨，因为上面的论证不能说明al是幺元，先存疑

子群

条件：

封闭性

（结合律可以继承自父群）

幺元

逆元

定义： $为群上的非空子集，如果在的运算下构成群，则称为的子群，记为$

正规子群

(这个定义本来应该出现在后面,但是我把他放在子群这里了

定义: $是的子群，如果对于群中的任意元素和中任意元素有则称是的正规子群，记为$

群的中心

$中心：$

一般的，{e}是一个群的平凡中心

整数加群的子群

定理：整数加群的子群必然可以写成，其中为中最小的正整数

证明：反证，构造

循环群

由某元素生成的子群： $如果是包含的最小子群则称为的生成子群记为$ 类似可定义由G的某个子集生成的子群

由一个元素生成的子群叫做循环群
可由有限多的元素生成的群叫有限生成群（有限生成群不一定阶数有限）
元素a的阶定义为<a>的阶，记作o(a)
群中所有元素阶的最小公倍数称为群的方次数，记为exp(G)，如果不存在最小公倍数，exp(G)=无穷

同构与同态

同态

如果存在 $满足$ 则G与G'同态，记为

一个小细节：等式左边的“乘法”是群G中的运算，而等式右边的“乘法”是G'中的运算

一句话来说：同态是两个群中与合成法则相容的映射

像与核

两个重要的概念：

像：
核（kernal)

可以证明，像与核都是子群

例子：

交错群（所有偶置换构成的群），也是符号映射的核

另一个有趣的例子：

把指标集{1,2,3,4}划分为阶数为2的子集对：作用在指标集上面的置换可以同构映射为作用在上面的置换

同构

定义：同构是一个双射同态，记为 $或者$

（证明的时候不仅要证明双射，也别忘了证明构造的映射是同态的）

同构性质具有传递性

讨论同构的意义在于我们以后可以用一个群的同构群去讨论一个群的性质，很多时候我们不加区分同构群。

讨论同构群可以让抽象的定义变得更加具体。比如在线性代数中讨论线性变换及其对应的矩阵的时候，我们经常通过研究具体的矩阵来讨论线性变换的性质。又比如用整数加群的子群来讨论循环群的性质......

以后还会有更多同构的应用，我认为同构的思想对于代数学来说非常重要，是一个层次很高的概念。

自同构

顾名思义，自同构是G到自己的同构

一种特殊的自同构是选定一个g,

一个有意思的地方是，如果把从g到的构造过程也看作一个映射，这些f集合也是关于运算“函数的复合”构成的一个群，可以看成一个同态映射，是不是同构取决于群G的性质

（比如如果G是可交换群，那么所有的都是恒等映射，肯定不是同构）

元素称为x关于g的共轭

群的两个元素ab可交换当且仅当ab=ba ,当且仅当，当且仅当(交换子)

陪集和商群

从这里正式开始学习新的概念了~

陪集

定义

H为G的子群，，则称为H在G中的左陪集

注意，陪集不一定是群

if H = ker f ，a,bG则下面的条件等价：
1. f(a) = f(b)
4. aH = bH

可以看出，陪集要么相等，要么互不相交，因此，G关于其子群H的所有陪集构成G的一个划分（商群）

又因为同一个子群的陪集阶数相同（可以构造双射证明），所以有如下公式：记号代表子群H在G中的指标，也就是H的左陪集的个数

右陪集和左陪集的定义类似

正规子群的右陪集和左陪集相等

注：证明两个集合相等即证明两个集合互相包含，即证明集合A的每个元素也在集合B中，反之亦然

等价关系和划分

等价关系

等价关系是集合中元素之间的关系，它有自反性、对称性、传递性

划分：集合上的划分是将集合分为互不相交的子集

集合上的一个等价关系确定集合的一个划分，同样的，一个划分也对应一个等价关系

给定集合S的划分，可以构造一个新的集合，其元素是等价类（组成划分的子集）。相当于把等价的元素放在一起，认为他们是中的同一个元素。

记号：

U是S中的一个子集，常用[U]表示中对应的元素

经常用S中的一个元素代表在中对应的等价类，为了区分，把S中元素a对应的等价类记为

例子：整数加群模同余类构成的等价类

自然同态

自然同态

是一个满同态。

纤维

同态映射

一个形式的记号：

代表一个集合，或者说是一个用映射f确定的等价类，叫做f的纤维

纤维是映射f的核K的陪集，这些陪集构成了S的划分

商群

定义

$是正规子群在中左或右陪集的集合$

这个定义为什么要求N是正规子群呢？商群上面定义的运算是什么呢？这两个问题在积群部分回答

商群，形象的说就是等价类组成的的群，商群里面每个元素都是一个等价类

举个例子：

整数加群N的子群则商群中每个元素都是一个等价类

但是对于一般的群来说，是关于什么等价关系的等价类呢？

$，$ （重要因此是关于关系R: 的等价类（自反，对称，传递）

群同态基本定理

这个定理很重要

设是满同态映射，则

特别的，N=ker f，考虑自然同态 ，就是把每个G中的元素，映射到它所对应的等价类

自然同态的意义就是把所有满足的元素全都映射为同一个元素，N可以是任意一个正规子群，容易看出，N是自然同态的核

对应定理

对应定理：

是一个满同态，核为K，则存在双射 $中包含的子群的子群$

可以验证，满足条件

把正规子群映射到正规子群

积群

定义

即笛卡尔积：即为G与G‘的积群，在上定义乘法：

乘法映射：

设H,K是G的子群，定义乘法映射： $，$ ，

重要性质：

f是单射当且仅当
f是同态 iff.
如果H(或者K)是G的正规子群，则HK是G的子群
f是同构当且仅当且 ,且H,K都是正规子群

前三条都比较容易证明

第四条证明思路：

充分性

保证f是单射，保证f是满射，因此f是双射

下面只要证明f是同态即可，要证同态要证明 HK中的元素可交换

$h^{-1} k^{-1}hk =(h^{-1} k^{-1}h)k=h{-1} (k^{-1}hk ) $

所以，

交换子为幺元，说明H，K中的元素可交换

必要性

已知f是同构，前两个好证，重点看如何证明HK都是正规子群

利用交换律直接证明

商群上面的合成法则

G/N商群中每个元素都是N的陪集，定义商群上的运算：这个乘法也就是乘法映射。

又因为N是正规子群，可以证明 :

对正规子群N有

因此

N是正规子群这个条件保证了aN与bN的乘积是一个陪集，也就是说保证了封闭性

第一同构定理

设是一个满同态，，则商群

可以先构造映射，在构造双射

则

参考书目（推荐）：

[1]顾沛,邓少强.简明抽象代数

写的真的不错，有难度但又能看懂，主要讲了群、环、域这三大部分，里面的习题也很棒，缺点是没有答案

[2]Michael Artin.代数(第二版)

翻开之前以为主要是线性代数，看了目录发现线性代数一章就讲完了，后面才是重头戏，感慨自己以前接触到的不过是冰山一角，我就像在海边捡贝壳的小孩猛一抬头看见了大海一样

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