代数第3章---环

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环是另一个重要的定义，在群上只定义了一种运算，但是很多时候既有加法又有乘法，环就是既有加法又有乘法的群。想想整数环、数论、多项式环，这是我们这一章要讨论的东西的具体实例。

基本定义

环

环是具有两种运算（成为加法和乘法）的集合R，满足下列条件

  • R关于加法成为一个Able群，他的单位元用0表示

  • R关于乘法形成半群

  • 关于这两种运算有分配律

    • a(b+c) = ab + ac

    • (a+b)c = ac + bc

零因子

在环R中如果两个元素a,b非零，且ab = 0，则称a为左零因子，b为右零因子，a,b都是零因子

一些特殊的环

幺环：关于乘法形成幺半群的环，乘法的幺元用1表示

交换环：关于乘法有交换律的环

整环：没有零因子的交换幺环

除环：所有非零元对于乘法形成群的环

域：交换除环

无零因子环与环的特征

定理：无零因子环中所有元素对于加法运算的阶相同，并且当这个阶有限是都是素数

证明：

的阶为

因为R无零因子 ，，所以 nb=0

b的阶 n' | n

同样可以证明 n|n'，所以 n=n'

下证n是素数

假设 n 有因子 l,m()

0 = na = lma = l(ma)

ma的阶为l，而ma的阶又为n，所以l = n

所以n的因子只有1和n，n是素数

如果这个阶p有限，环的特征为p，如果无限，特征为0

这个概念后面似乎没怎么用到（域的部分会用到）

理想、子环、商环

理想

基本定义

我不知道这个定义为什么叫理想(Ideal)，字面上和理想有什么关系（笑死

定义：环R的左理想I是R的满足下列条件的非空子集：

  • 加法封闭

其实上面的定义是左理想，当然还有相应的右理想，既是左理想又是右理想称为双边理想，也叫理想

是这样的，[Artin]的书里面直接定义上面那个为理想，因为这本书直接定义环的时候定义的就是交换幺环，因此左右理想等价，但是《简明抽象代数》里对环的定义要求比较少，我就按照这本书来吧。

生成的理想、主理想

A是R的非空子集，由A生成的理想指的是包含A的最小理想，也是包含A的所有理想之交（理想的交也是理想）

记为

如果A中只有一个元素a，那么<A>也叫做由a生成的主理想，记为<a>

<A>可以表示为

素理想与极大理想

素理想：

为的理想，如果，则称为素理想

例子：整数环中素数生成的理想

极大理想：

R是交换幺环，R的极大理想是R的理想中除R本身以外最大的理想

定理

  1. R为交换幺环，R的理想I为素理想当且仅当R/I为整环

  2. 交换幺环 --有逆元--> 域

    R为域 R的极大理想为{0}

  3. R为交换幺环，M为R的理想，M是R的极大理想 iff. R/M为域

    证明

    设I为R/M中的一个理想，则存在R中的理想A使得

    因为M是最大理想，因此A=R or A=M

    因此

    因此R/M的极大理想为{0}，R/M为域

    R/M的极大理想为{0}

    设I是R的理想，

    if 则

    if 则

    所以为R的极大理想

子环

子集&构成环

商环

和商群的定义差不多，把正规子群换成理想

定义：

是理想，商环

容易验证，商环也是环

是理想这个条件也是为了保证商环中的元素按照集合的积求出来的仍然是一个子环

唯一析因环

这才是真正的重头戏，在这里，换一种视角看待素数、可约性、裴蜀定理，扔掉之前学的数学吧，从零开始搭积木！

引子

先看一个奇怪的例子：

考虑环 ，其上的加法和乘法为普通的加法和乘法，考虑元素9

问题在哪里呢？

由于分解不唯一导致虽然3不可分解并且3|9但是

上面直接断言3不可分解，这里给出说明

对每个属于R的元素可以取模（为常规的复数取模运算） 模平方为正整数，并且关于乘法满足同构条件，因此如果3有因子x,y，则满足 x,y只能取3，枚举即可排除

同样可以证明不可分解

如果对环不加以限制，就会导致这种奇怪的现象：

p|ab，p不可分解，但是p不整除a又不整除b

单位、素元、既约元

单位

设R为整环， 中乘法可逆元素的集合U叫做R的单位群，U中的元素称为单位

U是一个交换群（但不是环）

相伴：

如果存在使得则称a与b相伴，记为

相伴关系是等价类

因子、真因子、非平凡因子

这三个定义都是在整环中的，满足交换律

  • 如果存在，使得 则称b为a的因子，记为

  • 非平凡因子： 非平凡因子因子单位相伴元

  • 真因子 真因子因子相伴元 真因子的定义为但是，那么b是a的真因子

素元、既约元

素元：

(R除去零元和单位群) 如果或则称为素元

既约元：

既约元即不可约元素

如果没有非平凡的真因子，则不可约 我觉得这句定义重复了，直接说p没有非平凡因子多好

关系

由前面引子的例子可以看到，既约元不一定是素元。但是有如下定理：

素元一定是既约元

证明：

设p为素元，如果p=ab

则p|ab 所以 p|a或p|b，

如果p|a，又因为 a|p ，所以a不是p的真因子

如果p|b,设b = pc，p = ab = apc = pac，ac = 1，所以a,c为单位元，a为平凡因子

所以p是既约元

什么情况下既约元是素元呢？

唯一析因环的定义、性质及判定

两个要点：

  • 唯一
  • 析因

就是说每个属于的元素可以分解为有限个既约元的乘积（有限析因条件），并且这个分解是唯一的（不计顺序）

如果一个整环R满足这两个条件，则称其为唯一析因环

定理：

唯一析因环上的既约元是素元

证明：

用“唯一性”就可以证明了

p | ab

ab = cp 必然存在ai或者bj 等于p

判定定理：

如果一个整环R满足有限析因条件并且每个不可约元素都是素元素，则R是唯一析因环

证明：

先把a分解为不可约元素之积

对 ，

又因为 不可约，所以

然后把单位都放到u里面去，利用消去律，转化为更小的问题（可以用数学归纳法）

唯一析因环的例子

主理想整环

主理想就是由一个元素生成的理想

主理想整环：如果一个整环满足它的每一个理想都是主理想，那么这个整环叫做主理想整环

例子： 是主理想整环，多项式环不是主理想整环，但是是主理想整环，如果F是域，则F[x]是主理想整环

不是主理想整环的证明

显然是整环，如果是主理想整环，则存在，满足

所以g(x)|2，同理，g(x) = 1

但是，，但是

矛盾

因此不是主理想整环

是主理想整环的证明

Z中任意一个理想，取中最小（绝对值最小）非零元素a，则由带余除法，I中任意一个元素b都可以写成

，由于a是最小非零元素，所以r=0

因此I中每一个元素b都可以写成 b = aq

所以

又因为 ，所以

所以

最大公因子

主理想整环上面a，b元素的最大公因子d满足

  • d|a,d|b
  • 任意元素d'|a,d'|b，则有d'|d

主理想整环上的最大公因子总是存在的，并且互相相伴，证明如下:

令a,b为R上的两个元素，理想 Ra + Rb 的生成元d是a,b的最大公因子

证明d是最大公因子：

Ra + Rb = Rd，所以d|a,d|b

如果c|a,c|b，则c整除Ra+Rb中的每一个元素，c|d

所以d是最大公因子

裴蜀定理：

以前总觉得用欧几里得算法证明裴蜀定理看着很别扭，这才是优雅自然的证法！

并且这样就把裴蜀定理推广到了所有主理想整环

主理想整环是唯一析因环

要证明主理想整环可以分解，并且分解得到的因子唯一

引理：

R为主理想整环，若 R中的一个序列 每一个元素都是前面元素的真因子，则这个序列一定有限

证明：

易证，是一个理想，所以是主理想

设这个理想的生成元为d，

如果存在 ，则(因为并集等于)

因此 ，这与“每一个元素都是前面元素的真因子”矛盾

因此序列有限

证明R满足有限析因条件

这个证明和用闭区间套原理证明有限覆盖原理很像

,如果p不能分解为两个真因子的乘积，p本身就是既约元

否则，p = ab，如果ab都可以分解为有限个真因子之积，则p当然也可以

如果a不能分解为有限个真因子之积，则继续分解a

如果能继续做下去，我们可以得到一个序列 每个元素都是前面元素的真因子，这与上一个引理矛盾

因此原命题成立，即中的元素可以分解为有限个不可约元素的乘积

再证明R中的每个不可约元素都是素元

即证：q不可约，q|ab ，

q不可约，因此q的因子为单位或与q相伴

因为，所以q,a的最大公因子为单位

由裴蜀定理 ，存在u,v ，

所以 ，右边两项都能被q整除，因此

因此主理想环是唯一析因环（由唯一析因环的判定定理）

欧几里得(Euclid)环

欧几里得环是一种特殊的主理想整环，是可以辗转相除的环

定义如下：

R是一个整环，如果存在映射(尺度函数)，使得满足 ，则称R为欧几里得环

有了尺度函数，并且保证每次辗转相除的时候尺度函数变小，那么就可以保证辗转相除不能无休止的进行下去，最后得到我们想要的信息

欧几里得环是主理想整环，其中尺度函数最小的元素就是生成元，可以由辗转相除证明其他元素都在这个元素的主理想中。

~以前之所以觉得用辗转相除法证明裴蜀定 理不优雅不只因为过程不优雅，可能是因为这个证明用到了本来不必用到的条件，今天终于知道是为什么了~

[后记]

这一部分学了两天，真的挺麻烦的，而且还有好多东西没整明白，比如素理想与极大理想，关于多项式环也没有多讨论，不过这个学高代的时候学过了。

接下来开始“域”。

《简明抽象代数》这本小册子真的精妙，拿到纸质书之前没想到这么薄，大概只有一百多页，但是我觉得它把抽代最核心的东西都讲了，最后甚至还有伽罗瓦理论，真的神奇，立马下单了一本！