代数第4章---域

关于古老的尺规作图三等分角问题

对于环，我们只要求其上的“乘法”运算构成半群，讨论最多的整环也仅仅要求集合对于乘法构成交换幺半群。有了基本运算中的加、减、乘。再进一步，如果要求集合对于乘法运算构成群，就有了“除法”，这就是域。

这一章主要关于域的扩张，由自然数到有理数再到实数的过程就是一个例子。

引子---尺规作图三等分角

证明尺规作图没有三等分角的一般方法

_{这个例子来源于《线性代数学习指导》（李尚志）第五章}

先看看尺规作图可以干什么：加、减、乘、除、开平方

关于为什么是这五种运算：

因为尺规作图只有直尺和圆规，那就只能过已知点画直线和已知圆心和半径画圆

得到的点也只是直线与圆的交点 即，能得到点的集合是联立以上两个方程的解，又因为二次方程求根公式里面有一个根号

因此可能得到的点的集合只有这五种

至于这五种运算如何具体操作：

加减法自然是不用说，开根用三角形相似的射影定理

乘法可以这样：假设已知长度a,b,1，以b,1为两边做三角形，再做这个三角形的相似使得新的三角形有一边为a，并且a对应1，这样新的三角形与b对应的边长度就是a*b（这里的乘法都是普通实数的运算

除法类似，用相似

（上面为什么莫名其妙出现了个1，因为如果没有单位长度，”线段“的乘法就没有意义，谈论长度的前提是有长度这个概念，有了1才有长度的概念）

考虑角60度，如果能证明20度的角不能做出来就可以证明不存在一般方法

三倍角公式： 代入，为方便起见，记,得到 采用反证法证明这个方程的解不可能只由系数的这五种运算得到。

假设 是上述方程的解，则也是，由一元三次方程的韦达定理，也是上述方程的解

递推得到必然存在有理数 是上述方程的解

而上述方程没有有理根（有理根定理），产生矛盾，因此的角不能由尺规作图直接得到

_{以上论证并不严谨，只是初印象，后面可以用关于域的理论更严谨地证明}

域

由环到分式域

定义：设整环R为域F的子环，如果对于，有使得则称F为R的分式域

例子：

的分式域是，多项式的分式域是有理函数域

定理：整环R的分式域是包含R的最小域，因而唯一

证明：

这里略去细节，仅仅说明思路

因为这里只提到了R而没有提到 F，也就是说，现在还不知道F究竟是个什么东西，所以就要先构造一个域F，然后证明我构造的这个东西是一个域，然后再证明F是R的分式域，然后再证明任何分式域都包含F，由此F就是最小的分式域

怎么构造F呢？注意我们现在只有一个整环，连有没有逆元都不能保证，那干脆就不管什么逆元，直接在这个集合上面定义乘法和加法运算（把一个数“看成”分子，另一个看成分母），然后证明在这个加法和乘法下，F是一个域。

素域

_{这个概念和后面的内容联系不大}

待续

域的扩张

环一章的补充---在环上添加元素

_{理解这个很重要}

记号

先介绍一个记号

设R为环，则是R上以x为变量的多项式环，即 也可以说是x的幂在R中的线性组合

如果把x换成一个不在R中的变量 如果S是一个集合，那么代表S中各项的幂的乘积在R中的线性组合

如何添加元素

如果要添加的东西是一个显式的数，这个也好理解，例如，就代表高斯整数环

但是如果要添加的东西并不能用我们常用的记号表达出来呢？

例子

假设现在没有虚数这个概念，没有i这个记号及其运算法则，要向整数环添加一个元素使得这个元素是 的根，添加这个元素之后得到的环是什么样的呢？

设这个元素为，由定义，新的环是幂次的线性组合，也就是把代入 的结果

对于 中的多项式f(x)，可以将其分解为乘一个多项式 加上 剩余的项，即做带余除法

那么，当我们把代入的时候，前一项就是0，不同余项得到的值也不同

根据确定等价类，这个等价类的集合就是我们最终想要的添加元素之后的环

方法

上面这个例子提到等价类，等价类的集合就是商环，而这一项就是主理想

在环R上添加元素，的最小多项式为p，则 这就是一般性的结论

证明

构造同态，注意到，利用群同态基本定理

域的扩张

_{群是G(group),环是R(ring),域是F(field),真讲究（doge)}

记号：域F上的有理函数记为F(x)，定义和环差不多，不过是把方括号换成圆括号

单元素扩张

为什么只讨论单元素扩张呢，因为扩张可以归结为添加有限集合的扩张，有限扩张又可以归结为多次单元素扩张，如下

设K为F的扩域

• 若，则

  证明，利用性质F(S)是K中包含F,S的最小子域

推论 :

超越扩张

代数元：如果是域F上某个非零多项式的根，则称其为代数元

超越元：非代数元

_{一个元素是代数元还是超越元不仅取决于这个元素本身还取决于域F}

如果是超越元，则映射 是双射

也就是说，

所以(待续...)

称为F的超越扩张

代数扩张

如果是代数元，p(x)是以为根的不可约多项式，有结论

由环的扩张可以得到

再证明是一个域，那么是一个域，然后就可以证明

怎么证明是一个域呢？

利用上一章关于极大理想的一个定理即可

因为p(x)不可约，所以是极大理想

所以是域

扩张的次数

F的扩张K可以看做F上的线性空间

扩张的次数指的是这个线性空间的维数，有限维--有限扩张，无限维--无限扩张，记为

对于单扩张，以下三个条件等价：

• 是域F上的代数扩张

• 是域F上的代数元

• 是F的有限扩张

多项式的分裂域

定义

F为域，如果F的一个扩域E满足在E[x]上可以分解为一次因式的乘积，那么E称为f(x)在F上的一个分裂域

• 存在性
• 唯一性

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[后记]

累了，学不完了，暂时停下来吧

仅仅学了基础中的基础，不过至少部分地了解了抽象代数是在干什么。

本来打算再深入了解了解伽罗瓦理论，觉得太难，暂时放弃吧，等以后有精力再补充。

笔记记录在此，希望以后需要用到的时候能快速回忆起来。