MMA---基础

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Mathematica的基本知识

基本操作

  • 获取函数的帮助： ?函数名，支持通配符

    s输入函数名，ctrl shift K ： 快速获取函数参数信息

  • 结束进程：Alt + .

  • 运行当前行 Shift + Enter

  • 加分号，作用是不让这个语句输出

菜单栏设置

  • 格式

    • 样式表--样式表选择器

      给笔记本换颜色、格式等等，很酷炫

  • 单元

    • 转换成

      TratitionalForm : 传统形式，会把数学符号都显示出来，例如

      StandardForm：标准形式，所见即输入

    • 笔记本历史

      这个功能有点意思，可以追踪笔记本的修改记录，看起来很nb

  • 图形

    • 新图形

      新建一个绘图区，可以用鼠标画图，看起来不太好用

变量与函数

变量

  1. “=” 与 “:=”的区别

    =表示计算出右边的结果后赋值

    := 表示遇到左边这个形式的时候替换成右边的东西

    因此定义函数应该用 :=

  2. %表示上一个输出，%%表示上上一个，以此类推

    或者用%3表示Out[3]

  3. x=. 清除x的赋值

函数

  1. 定义函数

    f[x_] := x^2

    左边用x_，可能是为了将函数的定义与调用区分开

    分段函数 /;后跟条件，例如：

    1
    2
    f[x_] := x /; x>0
    f[x_] := -x /; x<=0

    过程函数

    f[参数_] = 语句1;语句2;语句3...

  2. 调用函数

    • f[x]
    • f @ x (前缀调用)
    • x // f （后缀调用）
    • a ~ f ~ b 中缀调用（对于含有两个参数的函数）

  3. Options[函数名]

    获取这个函数有哪些参数

  4. 对列表整体使用某个函数

    函数有一个性质叫Listable 表示该函数能不能对于一个列表整个操作（即f[{x1,x2,x3}] = {f[x1],f[x2],f[x3]} ]

    如果有这个性质，可以直接调用，如果没有，可以使用Map函数，将列表中的每个值映射到另一个列表：

    1
    2
    3
    Map[f,mylist]
    相当于
    f /@ mylist

    我感觉有点像matlab里面的 .* 点号运算符

    Map可太强大了，甚至可以作用于表达式（比如 Map[f,a+b] = f[a]+f[b])

    Map第三个参数的含义：

    如果输入的第二个参数是多重列表，第三个参数的含义是f作用的层次（最外层1，向里递增）

    第三个参数的格式为 n，{n}，{m,n}

    n表示作用于1到n层

    {n}表示仅作用于第n层

    {m,n} 表示作用于m层到n层

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    //Map at level 1:
    In[1]:= Map[f, {{a, b}, {c, d, e}}]
    Out[1]= {f[{a, b}], f[{c, d, e}]}

    //Map at level 2:
    In[2]:= Map[f, {{a, b}, {c, d, e}}, {2}]
    Out[2]= {{f[a], f[b]}, {f[c], f[d], f[e]}}

    //Map at levels 1 and 2:
    In[3]:= Map[f, {{a, b}, {c, d, e}}, 2]
    Out[3]= {f[{f[a], f[b]}], f[{f[c], f[d], f[e]}]}
    image-20220106165832007

    Table 和 Map 的区别如上，觉得Map更抽象，Table经常用于生成函数值列表

    Thread逐项作用

  5. 纯函数（类似于Python里面的匿名函数）

    两种定义方法：

    • Function[{参数列表}, 函数返回值]

    • g = ( #1 + #2 )&

      #加数字代表参数的占位符，&表示这是一个纯函数

    纯函数可以配合着Map函数使用

  6. Apply 偷梁换柱

    Apply[f,g[x]] = f[x]

    简写 : f @@ g[x]

  7. 变量和函数的清除

    • Clear[x]

    • Remove[x]

    • Clear 与 Remove的区别

      清除函数的时候，Clear只是清除了函数的具体定义，调用 ?f的时候还不会报错，并且这个函数的性质（例如Listable）也会保留

      Remove是彻底清除这个符号，再次调用?f的时候会说没有这个符号

    • 清除所有全局变量以及函数定义：

      Clear["Global`*"]

  8. 处理方程（组）

    • Solve 解方程

    • NSolve 求数值解

    • RSolve 解递推方程，例如

      RSolve[{p[n] == a*p[n - 1] + b ,p[1] == 1/(a + b)}, p[n], n]

    • Eliminite 方程组消元

列表

创建列表

  • {1,2,3}
  • Range函数

关于列表的一些函数

  • 以矩阵形式输出矩阵：

    函数MatrixForm

  • 解除矩阵的嵌套:

    Flatten

  • Join 合并列表

    矩阵纵向拼接：Join[a,b]

    矩阵横向拼接：Join[a,b,2]

  • Union也是合并列表，合并后的列表没有重复元素

  • Riffle，交错合并列表

  • Drop 删除列表中的元素（不会改变列表，只会输出新的）

  • image-20220127195324201

  • ReplacePart函数（不会改变列表，只会输出新的）

相关细节

  • 列表中元素的编号从1开始，和MATLAB一样

  • 要索引列表a中的元素应该用 a[[1]]（如果是矩阵用a[[1]][[1]]，或者可以 a[[1,1]]）

    获取矩阵某一行：a[[i]]

    获取矩阵某一列：a[[All,i]]

    获取i到j个元素：a[[i;;j]]

表格

  • Table函数

    Table[expr,spec1,spec2,...]

    Table[Table[expr,spec2],spec1]

    expr 是函数表达式

    spec是表示变量取值范围以及步长的列表，例如{x,0,10,1}

    Table 函数用于生成列表或者矩阵

  • Grid函数

    大概用法是输入一个矩阵，返回一个表格

    Frame参数可以设置框线，还有别的参数可以设置颜色

字符串

基本函数

帮助文档的String&Text里面有，暂时觉得没什么用

<> 连接字符串

绘图

2D

用于绘图的函数

  • Plot
  • ListLinePlot

​ 绘制点集的线条

  • ParametricPlot

    绘制参数函数的图像

  • PolerPlot 极坐标绘图

  • VectorPlot 绘制向量图

常用参数

  • PlotRange 绘图范围
  • AspectRatio 宽高比
  • Axes 是否显示坐标轴
  • AxesLabel 坐标轴标签
  • Tick 坐标轴刻度
  • PlotPoint 确定作图时每个单位长度取多少点，调整作图的精细程度
  • PlotLabel 给图形增加大标题
  • PlotStyle
    • ThickNess 线宽
    • Graylevel 灰度
    • RGBColor 颜色
    • Dashing 线的形状
    • Opacity 透明度

3D

  • PLot3D
  • 2D绘图函数大都有其相应的3d绘图函数

同时在一个图中显示两个图像

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p1 = Plot[Sin[x], {x, -1, 1}];
p2 = Plot[Cos[x], {x, -1, 1}];
Show[p1, p2]

常用参数

  • Boxed 是否给图形加一个框
  • BoxRatios 图形立体框在三个方向的 长度比
  • ViewPoint 观察点
  • Mesh 网格

例子：莫比乌斯环

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Clear[r, x, y, z];
r = 1 + 0.5 v Cos[t/2];
x = r Cos[t];
y = r Sin[t];
z = 0.5 v Sin[t/2];
ParametricPlot3D[{x, y, z}, {t, 0, 2 Pi}, {v, -1, 1},PlotStyle -> Opacity[0.3], Mesh -> None]

规则

创建和使用规则

创建规则

x-> a就是一条规则，含义是x取a，他可以放在一个表达式后面，作用是把表达式中的x替换为a: 表达式 /.是ReplaceAll的缩写

x可以是任何符号、表达式、甚至是函数，例如： 把f[x] , f[y] 替换为 x^2, y^2

当然，/. 后面也可以是规则的集合（/.ReplaceAll）

:> 这个符号与 ->的区别类似于 = 和 :=的区别

书上举了一个RandomReal的例子

  • 也可以把规则赋值给一个符号

使用规则

Slove函数得到的结果是一个嵌套列表中的规则，例如：

1
{{x -> -1}, {x -> 1}}

如果是多元，多个解的方程，solve的结果还是二层的嵌套列表，每个子列表中是一个解

利用这个可以画出方程解关于参数的图像

1
2
sol = Solve[x+1==a,x]
Plot[x /. sol ,{a,-2,2}]

多次使用

/. 使用一次 ReplaceAll

//. 使用多次直到表达式不发生改变 ReplaceRepeated

ReplaceReaped还可以设置最大使用次数，第三个参数MaxIterations

ReplaceList 输出多种可能的替换

​ ReplaceList[...] //Column

​ (//是函数的后缀使用形式，相当于Column[ReplaceList[...]])

​ 能让信息以列（本来是列表）的形式输出出来

​ 例子:

image-20220123101739177

交互

Manipulate 交互

第一个参数是要输出的东西（含参数），后面的参数形式为{a,0,10}表示参数名称以及取值范围

Animate 动画

输入和Manipulate差不多，输出时参数随时间变化的动画，可导出为gif

例如：

李萨如图

I/O

MMA可以很方便的导入和导出文件、图片、表格等等

导入

从本地导入：

Import["地址/文件名"]

从网站导入：

Import["网址","选项"]

导出

Export[]

表达式

为什么要在这里专门讲一下表达式？不仅因为表达式MMA语法中的重要定义，还因为这里的表达式不像我们平常理解的那样，还有别的含义

列表、数学公式、图形等，在MMA中都可以看做是表达式

FullForm函数用于获取表达式的标准形式，例如

常用形式 FullForm
a+b+c Add[a,b,c]
{a,b,c} List[a,b,c]

所以一个表达式可以看做是由一个Head和后面的元素组成的

Head函数可以用于获取表达式头部，例如 Head[{a,b,c}]的输出是List，用下标0索引也可以得到Head

当然，也可以自己随便定义Head，例如myhead[1,2,3],这个表达式的Head就是myhead

既然列表是特殊的表达式，关于列表的一些函数（例如Append,Join,Sort,Reverse,Take,Length...）都可以用于普通的表达式

表达式层层嵌套可以形成树

函数TreeForm可以输出表达式的树形式

例如

image-20220127183642812

可以说是很炫酷又没卵用了））

Position搜寻某个元素在表达式中的位置，可以指定搜索的层数

Level获取表达式某一层的元素（从上到下层数变大）

Depth获取表达式的最大层数，也就是高度

编程

条件

  • If[test,body1,body2,body3]

    test为真，执行body1；test为假，执行body2；test无法判断真假，执行body3

  • Which[条件1,表达式1,条件2,表达式2...]

    依次检查条件，整个表达式取第一个条件为真对应的表达式值，否则表达式取值为Null

循环

  • Do[Expr,{imin,imax,step}]

    从imin到imax执行语句Expr

  • While[Test,Body]

  • For[start,test,incrace,body]和C语言的For循环语法差不多

矩阵运算

我觉得这个软件矩阵运算没有MATLAB方便，没有左除右除那些运算，下面是一些常用函数

  • .点号表示矩阵乘法
  • Inverse 求逆
  • MatrixPower 求幂
  • Transpose 转置
  • MatrixRank
  • RowReduce 化为行最简形
  • NullSpace 求基础解系
  • Orthogonalize 矩阵正交单位化